Связь математики с другими науками

СВЯЗЬ Арифметики С ДРУГИМИ НАУКАМИ


Вопрос о связи меж арифметикой и естественнонаучными дисциплинами веками ставил в затруднение философов и историков науки.

Навряд ли стоит колебаться в том, что источником многих математических понятий и теорий послужил «внешний Связь математики с другими науками мир». Но в один прекрасный момент постигнутые, эти понятия и теории начинали развиваться совсем независимо. Они подымалиь к высотам абстракции, освобождаясь от оков собственного определенного (даже «низменного») происхождения. В процессе этой Связь математики с другими науками эволюции чисто интроспективным оковём рождались новые понятия и теории, которые в свою очередь чудодейственным образом оказывали решающее воздействие на ход научного прогресса уже за пределами фактически арифметики.

Разглядим в качестве примера геометрию. Она Связь математики с другими науками появилась из опыта старых землемеров и астрологов и на своём первом величавом шаге развития достигнула кульминации в «Элементах» Евклида, которые веками служили непререкаемым прототипом логической строгости и совершенства.

Оторвавшись Связь математики с другими науками от окружающего мира, из которого она появилась, геометрия продолжала развиваться, питаясь своими своими неуввязками. Посреди их была и неувязка 5-ого постулата — настолько же неуловимая, сколь и симпатичная.

Как мы лицезрели в гл. 2, задачка была чисто Связь математики с другими науками логической: можно ли вывести обозначенную теорему (постулат) из других аксиом евклидовой геометрии.

Бойаи и Лобачевский первыми дали отрицательных ответ на этот вопрос, построив систему геометрических предложений (включающую отрицание 5-ого постулата), которые находились Связь математики с другими науками в таком взаимно конкретном согласовании с их евклидовыми аналогами, что противоречие в одной из этих систем немедля повлекло бы за собой противоречие в другой.

Любопытно отметить, что ни Бойаи, ни Лобачевский не Связь математики с другими науками имели отчётливого чувства «реальности» собственной геометрии. Лобачевский называл её «мнимой», а Бойаи взволнованно писал папе: «... из ничего я сделал новый и умопомрачительный мир».

Только много лет спустя геометрия Бойаи Связь математики с другими науками–Лобачевского посодействовала Риману отыскать глубочайший и открывающий новые перспективы подход к неевклидовым геометриям. Сделанный в итоге математический аппарат был положен в основание общей теории относительности Эйнштейна.

Этот пример с геометрией — возможно, самая драматическая, но далековато Связь математики с другими науками не единственная иллюстрация перевоплощений, которые претерпевают математические понятия и идеи.

Исследуя, как остывает Земля, Фурье пришёл к дилемме представления повторяющейся функции в виде ряда, состоящего из синусов и косинусов:









1

2

 a Связь математики с другими науками0 + 



 (an cos 2πnx + bn sin 2πnx).




n=1




Та же неувязка появляется при попытке разложить сложное периодическое колебание (к примеру, звуковую волну, создаваемую музыкальным инвентарем) на обыкновенные «чистые тоны» (синусоидальные колебания).

Эти Связь математики с другими науками задачки физики дали мощнейший толчок исследованию рядов, схожих написанному выше, что привело к созданию чисто математической теории тригонометрических рядов.

По мере развития этой теории стало разумеется, что некие её разделы совсем не связаны с Связь математики с другими науками синусоидальностью «чистых тонов». В реальности большая часть результатов останутся верными, если показавшиеся из физических суждений синусы и косинусы поменять функциями φn(x), подчинёнными единственному условию

 1








 φn(x) φm(x) dx = 

ì

í

î




1,    m ≠ n,

0,    m Связь математики с другими науками = n.




Это условие является аналогом условия обоюдной перпендикулярности векторов евклидова места (см. § 15 гл. 1) и требования, чтоб эти векторы имели единичную длину. Итак, задачка представления функции в виде ряда








 cn φn (x)

n Связь математики с другими науками=1




стала аналогом задачки разложения вектора на взаимно перпендикулярные составляющие.

Эта и другие аналогии такого же рода привели к возникновению понятия простого бесконечномерного места — так именуемого гильбертова места. И опять волшебство: гильбертово место Связь математики с другими науками оказалось подходящим «математическим каркасом» квантовой механики.

Понятно, что развитие арифметики, в особенности в некие периоды, в значимой мере определялось задачками физики и астрономии.

Так, исчисление нескончаемо малых — самый большой, по-видимому Связь математики с другими науками, шаг на пути эволюции математических понятий и способов — было развито Ньютоном для решения задач динамики и, а именно, задач, возникающих при исследовании движения планет. Коронным достижением Ньютона был вывод законов Связь математики с другими науками Кеплера 1) из закона глобального тяготения.

Закон глобального тяготения утверждает, что два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной их массам и назад пропорциональной квадрату расстояния меж ними. Постулированный Ньютоном 2-ой закон механики (сила пропорциональна массе Связь математики с другими науками, умноженной на ускорение) позволяет установить, что ускорение планетки назад пропорционально квадрату её расстояния от Солнца и ориентировано к Солнцу повдоль отрезка, соединяющего её с Солнцем. Так как ускорение есть 2-ая Связь математики с другими науками производная радиуса-вектора планетки, предшествующее заключение приводит к уравнению, связывающему вторую производную вектора с самим вектором. Такое уравнение именуется дифференциальным, потому что в него заходит производная разыскиваемой функции от времени. Ньютон вывел и решил Связь математики с другими науками это уравнение, получив в качестве следствия все три закона Кеплера.

Тяжело передать, какое огромное воздействие оказало это величавое деяние Ньютона на развитие науки. Оно, непременно, положило начало теоретической физике и отдало эталон использования Связь математики с другими науками математических понятий и представлений для описания физических явлений.

Главных операций исчисления нескончаемо малых — дифференцирования и интегрирования — оказалось полностью довольно для того, чтоб сконструировать все физические законы, открытые в XVIII и XIX Связь математики с другими науками веках. Теория упругости, гидродинамика, термодинамика и величавое достижение Максвелла — теория электрического поля — всё это дань практически непостижимой многосторонности этого исчисления. Не умопомрачительно потому, что анализ — раздел арифметики, выросший на почве дифференциального и Связь математики с другими науками интегрального исчисления, — стал воистину языком четких наук и преобразовал математиков в полноправных участников битв за овладение тайнами природы.

В течение 2-ух прошедших веков физика становилась всё более математической, математика же, с одной стороны Связь математики с другими науками, всё посильнее проникала в физику, а с другой, всё больше проникалась физическим духом. Многие большие арифметики тех пор были и ведущими физиками. Традиция тесноватого сотрудничества меж 2-мя этими науками длится и Связь математики с другими науками до наших дней, хотя его масштабы очень сократились.

О том, сколь плодотворным и перспективным являлось такое сотрудничество, свидетельствует, к примеру, пророчество электрических волн и создание электрической теории света. К середине XIX века Связь математики с другими науками накопилось много экспериментальных данных, касающихся электрических явлений. На базе этих данных, сочетая строгую дедукцию с дерзким предвидением, Максвелл смог придти к системе дифференциальных уравнений, вобравших в себя всё, что было понятно Связь математики с другими науками в то время об электричестве и магнетизме.


Незадолго до Максвелла стало понятно, что локальное возмущение в изотропной упругой среде (находившейся в состоянии покоя в исходный момент времени) распространяется в виде волн, причём Связь математики с другими науками это распространение описывается волновым уравнением

 ∂ 2U

∂t2

 = c2 

(

 ∂ 2U

∂x2

 + 

 ∂ 2U

∂y2

 + 

 ∂ 2U

∂z2

)

 ,


где U(x, y, z, t) — отклонение от исходного положения покоя в точке (x, y, z) в момент времени t. Тут Связь математики с другими науками неизменная c — это скорость распространения волн в рассматриваемой среде.

Максвелл был поражён тем фактом, что электронный и магнитный векторы подчиняются волновому уравнению, и пришёл к выводу, что электрические возмущения тоже распространяются Связь математики с другими науками в виде волн. Это прекрасное теоретическое пророчество искрометно подтвердилось в 1886 г., когда Генрих Герц экспериментально получил электрические волны. Так как электрические волны распространяются со скоростью света, Максвелл представил, что свет Связь математики с другими науками является одной из форм электрического излучения. Это предположение также вполне подтвердилось бессчетными тестами и последующими теоретическими выводами. В итоге было достигнуто более глубочайшее осознание природы света.

Пример максвелловской теории электрического поля иллюстрирует Связь математики с другими науками и другое (в неком смысле более тонкое) взаимодействие математических и физических мыслях. Оно связано с тем, что уравнения Максвелла, в отличие от законов Ньютона, не инвариантны относительно преобразований Галилея (см. § 16 гл. 1).

С другой стороны Связь математики с другими науками, эти уравнения сохраняют собственный вид при преобразованиях Лоренца (§ 16 гл. 1). Этот чисто математический факт следует из формы уравнений Максвелла, и в принципе его можно было бы найти, не имея ни мельчайшего представления Связь математики с другими науками о физическом содержании этих уравнений. Но дерзкое требование поменять законы динамики так, чтоб они тоже стали инвариантны относительно преобразований Лоренца, не является уже ни математическим, ни даже дедуктивным. Это разрешение проблемы, поставленной отрицательным результатом Связь математики с другими науками опыта Майкельсона–Морли (§ 16 гл. 1); из него следует, что все законы физики должны быть инвариантны относительно группы преобразований Лоренца.

Когда Эйнштейн в 1905 г. определил эти новые для физики представления, идеи Феликса Клейна, касающиеся Связь математики с другими науками геометрии, были приняты и стопроцентно оценены математиками тех пор. Клейн выложил эти идеи в речи, прочитанной им при вступлении в должность доктора арифметики в Эрлангене. В этой речи, ставшей Связь математики с другими науками известной под заглавием Эрлангенской программки, он предложил рассматривать разные геометрии как исследование инвариантов соответственных групп преобразований 2). Выдающийся математик Герман Минковский, изумлённый сходством меж физическими мыслями Эйнштейна и геометрическими мыслями Клейна, смог получить Связь математики с другими науками из их красивое сочетание — пространство-время, наделённое геометрией, в базу которой положены преобразования Лоренца.

Обсуждая роль арифметики в формулировании физических законов и выводе из их следствий, стоит отметить нередко возникающее несоответствие меж глубиной физической Связь математики с другими науками теории и степенью трудности её математического описания.

Математический аппарат специальной теории относительности максимально прост, в то время как лежащие в её базе физические идеи и представления очень тонки и глубоки. С другой Связь математики с другими науками стороны, многие трудности, поставленные техникой, заносят малозначительный вклад в наше осознание физического мира, но требуют вербования неописуемо сложного математического аппарата. Не считая того, хотя (и это очень броско) так нередко какое-либо Связь математики с другими науками детище арифметики, загаданое и выращенное в её недрах, оказывается внезапно полезным для описания явлений окружающего мира (неплохими примерами служат всеохватывающие числа и матрицы), все же ни элегантность, ни особенная сложность того либо другого Связь математики с другими науками математического понятия, построения либо способа сами по для себя не дают никакой гарантии их практической полезности и пригодности.

Вигнер так подытожил всё это в собственной статье «^ Непостижимая эффективность арифметики в Связь математики с другими науками естественных науках» 3): «Математический язык умопомрачительно отлично адаптирован для формулировки физических законов. Это расчудесный дар, который мы не осознаем и которого не заслуживаем. Нам остаётся только благодарить за него судьбу и возлагать, что и Связь математики с другими науками в будущих исследовательских работах мы сможем как и раньше воспользоваться им и что сфера его применимости (отлично это либо плохо) будет безпрерывно возрастать, охватывая всё более широкие области науки и принося Связь математики с другими науками нам не только лишь удовлетворенность, да и новые головоломные задачи.»

Никчемно было бы пробовать сколько-либо много обрисовать взаимодействие меж арифметикой и физическими науками. Остановимся, но, на одном принципиальном нюансе этого взаимодействия Связь математики с другими науками, представляющем значимый энтузиазм.

Окружающий мир так сложен, что учёный-естествоиспытатель бывает доволен, если ему удаётся поймать и осознать хотя бы некие самые обыкновенные из присущих миру закономерностей. Для этого он вводит упрощённые и Связь математики с другими науками идеализированные модели, освобождённые от маловажных и усложняющих дело подробностей и отражающие, как он уповает, более значительные характеристики рассматриваемых физических объектов.

Так, к примеру, Ньютон при выводе законов Кеплера считал, что на планетки Связь математики с другими науками действует только притяжение Солнца. Он пренебрёг действием других масс, хотя это, строго говоря, было некорректно. Позже были предложены другие модели, более близкие к реальности. Одним из огромнейших достижений астрономии XIX Связь математики с другими науками века было пророчество существования планетки Нептун, изготовленное Адамсом и Леверье при попытке отыскать разъяснение тому, что движение Урана приметно отклоняется от его кеплеровой орбиты.

Грубо говоря, дело обстоит так: вопрос о выборе модели Связь математики с другими науками решает учёный-естествоиспытатель; после чего делает свою роль математика, позволяющая дедуктивно выводить заключения уже лишь на базе предложенной модели. Всё это довольно отлично понятно и навряд ли просит предстоящего обсуждения.

Есть и модели Связь математики с другими науками другого типа, которые помогают разрешить логические трудности, возникающие при исследовании других моделей, с виду полностью отлично отражающих явления окружающего мира. Разглядим, к примеру, термические явления при контакте 2-ух тел A Связь математики с другими науками и B разной температуры, изолированных от всех других тел. Тогда, согласно законам термодинамики, должен появиться поток тепла исключительно в одну сторону от более жаркого тела (скажем, A) к более прохладному (B) (однонаправленный поток Связь математики с другими науками).

В процессе этого процесса разность температур будет экспоненциально стремиться к нулю (закон теплопередачи Ньютона). Это следует из известного второго начала термодинамики; одним из пессимистических следствий второго начала (в применении ко Вселенной Связь математики с другими науками) является полное выравнивание температур всех тел, которое Клаузиус именовал термический гибелью.

Механический (кинетический) подход, при котором вещество рассматривается как совокупа частиц, а конкретно атомов либо молекул, подчиняющихся обыденным законам движения, приводит к совершенно Связь математики с другими науками другой картине. Частички, сталкиваясь вместе и двигаясь «случайным» образом, не могут сделать полностью однонаправленный поток от A к B. Согласно аксиоме Пуанкаре, такая динамическая система в конце концов вернётся в состояние, сколь угодно Связь математики с другими науками близкое к исходному, если только это изначальное состояние не является настолько исключительным, что таковой возможностью можно тихо пренебречь. Это «квазипериодическое» поведение резко отличается от однообразного рвения к выравниванию, которое следует из второго Связь математики с другими науками начала термодинамики.

Чтоб уладить возникшее расхождение, Пауль и Татьяна Эренфест предложили в 1907 г. ординарную и прекрасную модель (упомянутую в § 18 гл. 1).

Разглядим две урны A и B, одна из которых (скажем, A) содержит Связь математики с другими науками огромное число N занумерованных шаров (в § 18 гл. 1 в качестве N было взято число 2R). Сыграем сейчас в такую игру: выберем «случайно» какое-нибудь число от 1 до N и переложим шар Связь математики с другими науками с этим номером из урны, где он лежит, во вторую (первым ходом всегда будет перекладывание из A в B). Потом повторим эту функцию много раз (при всем этом шары будут нередко ворачиваться в Связь математики с другими науками A), следя за тем, чтоб поочередные вытягивания чисел были независимы и чтоб всякий раз извлечения всех чисел от 1 до N были равновероятными.

Интуитивно кажется, что до того времени, пока в ^ A Связь математики с другими науками намного больше шаров, чем в B, возможность перекладывания из A в B будет существенно большей, т.е. получится нечто вроде однонаправленного потока из A в B.

Хотя вытягивания чисел и независимы, количества шаров в ^ A Связь математики с другими науками в поочередные моменты времени не являются независящими. Они связаны определённой зависимостью типа марковской цепи (см. § 18 гл. 1). Среднее значение числа шаров в A, экспоненциально убывая, стремится к N/2, что полностью согласуется Связь математики с другими науками с выводом термодинамики. С другой стороны, можно отыскать, что с вероятностью 1 модель в конце концов вернётся в изначальное состояние (т.е. все шары опять окажутся в A). Но в этом и состоит утверждение Связь математики с другими науками аксиомы Пуанкаре для динамических систем.

Разумеется, что по сути меж вторым началом термодинамики и квазипериодическим поведением динамических систем нет никакого противоречия, если только не рассматривать этот закон как абсолютную догму и допускать более Связь математики с другими науками гибкую интерпретацию, основанную на теории вероятностей. Всё это становится ещё яснее, если вычислить среднюю длительность интервала времени, нужного для того, чтоб модель Эренфестов возвратилась в изначальное состояние. Для этого будет нужно Связь математики с другими науками 2N шагов — большущее число даже для не очень огромных N, скажем около 100.

И если все наблюдаемые явления кажутся нам необратимыми (однонаправленными), то только поэтому, что наша жизнь ничтожно коротка по сопоставлению Связь математики с другими науками с этими превосходными сроками!

В «игру» Эренфестов просто играть с помощью современных вычислительных машин. Такие опыты проводились для ^ N = 214 = 16 384 «шаров», причём каждый «прогон» состоял из 200 000 вытягиваний. (Это занимает меньше 2-ух минут.) Число шаров в Связь математики с другими науками A записывалось после каждых 1000 вытягиваний. Один из приобретенных при всем этом графиков показан на рисунке.




Как видно из этого графика, число шаров в A поначалу падает практически в точности по экспоненте Связь математики с другими науками. Но дальше кривая становится «волнистой» и случайным образом колеблется относительно положения равновесия.

Как модель выравнивания температур модель Эренфестов очень далека от действительности. И все же конкретно она улавливает существо дела, позволяющее примирить кинетический Связь математики с другими науками подход с классической термодинамикой.

В протяжении XX века применение математических понятий, способов и технических приёмов захватывает всё больше областей познания и приложений. Можно даже решиться на утверждение, что мы являемся Связь математики с другими науками очевидцами тенденции к «математизации» всех видов умственной деятельности. Такая тенденция, естественно, далековато не всегда оправдана. Можно именовать огромное количество примеров, когда «математизация» элементарна либо претенциозна, и даже таких, когда она мучается обоими этими недочетами Связь математики с другими науками.

Но, оставляя в стороне вкусы и личные точки зрения, нереально опровергать, что число и обилие заморочек, которые могут быть сформулированы и изучены математически, повсевременно возрастает. Мы выделим из их и Связь математики с другими науками кратко обсудим тут три трудности, относящиеся соответственно к теории очередей, теории игр и теории инфы.

^ Теория очередей появилась из попыток так спроектировать центральную телефонную станцию, чтоб каким-то образом свести к Связь математики с другими науками минимуму время ожидания связи. Опишем простой тип возникающих при всем этом задач.

Допустим, что на станцию с одним обслуживающим аппаратом прибывают «клиенты» (поступают телефонные вызовы), которые обслуживаются (либо обрабатываются) по очереди, один прямо Связь математики с другими науками за другим. Допустим также, что время можно поделить на простые интервалы длительности τ. («Квантовать» время тут не непременно, но если это сделать, задачку сконструировать легче. Решив её в таковой постановке, можно потом каким Связь математики с другими науками-то подходящим образом устремить τ к нулю и выстроить теорию, подобающую случаю непрерывного прибытия клиентов.) Дальше, обозначим через pk возможность того, что в течение некого данного интервала времени прибудет k (k = 0, 1, 2, ...) клиентов. Тогда

p0 + p Связь математики с другими науками1 + p2 + ... = 1.


Потом вводится существенное упрощение: подразумевается, что прибытия клиентов в различные интервалы времени являются независящими событиями, и, таким макаром, возможность того, что в течение первого интервала прибыло k1 клиентов, в течение второго — k Связь математики с другими науками2, третьего — k3 и т.д., равна произведению

 pk 

 pk 

 pk 

 ... .

¹

²

³

 

В конце концов, подразумевается, что время обслуживания случаем, и возможность того, что процесс обслуживания занимает время λτ (т.е. λ простых интервалов, где λ = 1, 2, ...), обозначается Связь математики с другими науками через ρλ. Тогда

ρ1 + ρ2 + ρ3 + ... = 1.


Сейчас появляются последующие вопросы: каково среднее число клиентов, ожидающих собственной очереди, по прошествии некого обозначенного времени? Каково среднее время, которое должен прождать клиент, до того как его обслужат? На эти вопросы получены Связь математики с другими науками полные ответы, которые, но, никак не являются ординарными. Путь к ним внезапно проходит по таким областям арифметики, как теория функций всеохватывающего переменного. К примеру, приходится рассматривать степенные ряды

p0 + p1z Связь математики с другими науками + p2z2 + ...,
ρ1w + ρ2w2 + ρ3w3 + ...


для всеохватывающих значений z и w.

Если рассматривать более близкую к реальности модель, допуская больше 1-го обслуживающего аппарата, математические трудности становятся практически неодолимыми, и даже на простые вопросы нереально Связь математики с другими науками ответить довольно много. К счастью, на помощь проектировщику сложной системы с несколькими обслуживающими аппаратами приходят быстродействующие вычислительные машины. Вдумчивое внедрение способа Монте-Карло (описанного в гл. 2) позволяет имитировать проектируемую систему и эмпирически Связь математики с другими науками изучить разные стороны её функционирования.

Строго говоря, таковой «экспериментальный» подход не относится к арифметике. Но эта ситуация похожа на ту, которая сложилась много веков вспять, когда Евдокс и Архит Связь математики с другими науками пробовали «подлить» мало механики в «светлые воды» геометрии (см. стр. 194–195).

Эмпирическое исследование очередей в сложных системах полностью может дать подсказку пути аналитического подхода, который востребует новых понятий и способов. Последние в свою Связь математики с другими науками очередь могут обогатить и украсить далённые и не связанные меж собой области арифметики.

^ Теория игр, сделанная Джоном фон Нейманом практически в одиночку, является умопомрачительной иллюстрацией того, как можно «математизировать» задачки, которые на 1-ый Связь математики с другими науками взор кажутся неподдающимися никакому оптимальному подходу. Мы объясним, что же это все-таки за теория, на примере упрощённого покера 4).

Колода для игры в упрощённый покер состоит из 2n карт (n довольно Связь математики с другими науками велико), половина которых — старшие (С), а 2-ая половина — младшие (М). Любой из 2-ух игроков A и B делает «ставку» размера a и получает одну карту. Потом A начинает игру. Он может или «открыть» свою Связь математики с другими науками карту, или «повысить» ставку, добавив в «банк» ещё b валютных единиц. Если A открывает карту, то B должен сделать то же самое. После чего игрок, у которого оказалась более мощная карта Связь математики с другими науками, конфискует обе ставки; если же оба игрока имели схожие карты, то они делят банк меж собой, т.е. каждый конфискует вспять свою ставку.

Если ^ A «повышает» ставку, то у B уже есть выбор: он Связь математики с другими науками может или «спасовать» (т.е. отрешиться от игры и дать средства A), или «играть» (т.е. добавить в банк ту же сумму b в последнем случае A должен открыть свою карту Связь математики с другими науками, после этого карту открывает и B). Выигрыш, проигрыш и ничья определяются так же, как и в первом случае.

Вопрос состоит в том, какой метод игры более выгоден для A (соответственно для B Связь математики с другими науками). Незапятанной стратегией именуется правило, предписывающее, как должен поступить игрок в хоть какой ситуации, которая может появиться в процессе игры. Таким макаром, для A имеется четыре незапятнанные стратегии:

  1. (O–О) — стратегия «открыть–открыть Связь математики с другими науками», т.е. открыть карту независимо от того, какая она у него: старшая (С) либо младшая (М).

  2. (О–П) — «открыть–повысить», т.е. открыть, если у него старшая карта, и повысить ставку, если Связь математики с другими науками его карта младшая.

  3. (П–О) — «повысить–открыть», т.е. повысить ставку, если он имеет старшую карту, и открыть карту, если она младшая.

  4. (П–П) — «повысить–повысить», т.е. увеличивать ставку в Связь математики с другими науками любом случае.

Следует увидеть, что стратегии (О–О) и в особенности (О–П) «плохие», ибо они не дают способности использовать преимущество старшей карты.

Аналогично, B имеет четыре незапятнанные стратегии, определяемые его решением «спасовать» (С Связь математики с другими науками) либо «играть» (И) в различных ситуациях:

  1. (С–С),

  2. (С–И),

  3. (И–С),

  4. (И–И).

(Напомним, что если A просит открыть карты, то у B нет никакого выбора.) Из этих Связь математики с другими науками четырёх стратегий для B 1-ая и 2-ая заранее «плохие», потому что они предписывают ему спасовать, имея на руках старшую карту.

Если представить, что A и B играют ради выигрыша, а не ради сокрытой благотворительности, то Связь математики с другими науками необходимо сходу откинуть стратегии (О–О) и (О–П) для A, также (С–С) и (С–И) для B. Сейчас просто подсчитать, сколько может выиграть A при разных композициях стратегий Связь математики с другими науками. Допустим, к примеру, что A выбирает стратегию (П–О) (т.е. увеличивает, если у него старшая карта, и открывает, если его карта младшая), а B — стратегию (И–И) (т.е. играет Связь математики с другими науками в любом случае). Тогда можно составить такую таблицу:

Карта A

Карта B

Выигрыш A

С

С

0

С

М

a + b

М

С

–a

М

М

0


При большенном n четыре варианта начальных позиций — (C, C), (C, М), (М, C), (М, М) — будут осуществляться приблизительно с схожей Связь математики с другими науками частотой, равной 1/4. Тогда «в среднем» стратегия (П–О) против (И–И) принесёт A незапятнанный выигрыш, равный b/4 за одну игру.

Аналогично можно подсчитать средний незапятнанный выигрыш ^ A за одну игру при выборе других трёх пар Связь математики с другими науками стратегий. Результаты этих подсчётов можно изобразить в виде так именуемой матрицы платежа (либо матрицы выигрышей):

 

B = (И–С)

 B = (И–И) 

A = (П–О)

0

b/4

A = (П–П)

(a – b)/4

0


Допустим, что Связь математики с другими науками a < b, т.е. левый нижний элемент этой матрицы отрицателен. Тогда стратегия (П–П) нерентабельна игроку ^ A, и он изберет стратегию (П–О). Аналогично, игроку B нерентабельна стратегия (И–И Связь математики с другими науками), и он изберет чистую стратегию (И–С). Итак, в случае «консервативной» игры («повысить», если карта старшая; «открыть», если карта младшая; «играть», если карта старшая; «спасовать», если карта младшая) оба игрока в Связь математики с другими науками среднем будут «оставаться при своих». Хорошими стратегиями являются незапятнанные стратегии, и игра в данном случае добросовестная (не дающая достоинства ни одному из игроков).

Если a > b, то итог игры сдвигается в пользу Связь математики с другими науками A, потому что только он обладает преимуществом «повышения»; в реальной игре это право предоставляется игрокам по очереди. Но для того чтоб пользоваться своим прибыльным положением, A должен придерживаться смешанной стратегии, выбирая (П–О) с вероятностью Связь математики с другими науками p1 и (П–П) с вероятностью p2, где p1 + p2 = 1. К примеру, при a = 8 и b = 4 матрица платежа имеет вид

 

 0   1 
 1   0 

 


и ^ A может обеспечить для себя средний выигрыш в размере 1/2 за Связь математики с другими науками одну игру, выбирая с вероятностью 50% стратегию (П–О) либо (П–П). В свою очередь B, отвечая этим же (т.е. тоже выбирая свои стратегии с вероятностью 50%), может помешать A выиграть больше.

Отсюда Связь математики с другими науками видно, что в неких ситуациях для заслуги рационального результата игрок A в части играемых партий должен «блефовать» (т.е. увеличивать ставку, имея на руках младшую карту); в какой конкретно части партий ему Связь математики с другими науками следует это делать, видно из матрицы платежа.

Фон Нейман показал, что большой класс конфликтных ситуаций, схожих возникающим в экономике, можно рассматривать как матричные игры, т.е. игры, имеющие (n×m)-матрицу платежа

 

 a Связь математики с другими науками11  
 a21  
... 
 am1  

 a12  
 a22  
... 
 am2  

... 
... 
... 
... 

 a1n  
 a2n  
... 
 amn  




 

 ,


в какой элемент aij равен выигрышу игрока A, если он избрал i-ю строчку, а его противник B (всекрете от A) избрал j Связь математики с другими науками-й столбец.

Основная аксиома теории игр утверждает, что существует такое число v, называемое ценой (либо значением) игры, что A может обеспечить для себя выигрыш, в среднем равный v за одну игру Связь математики с другими науками, в то время как B может помешать ему выиграть больше. Не считая того, существует лучшая стратегия для A (вообщем говоря, смешанная), гарантирующая ему выигрыш не меньше v за одну игру, и лучшая стратегия для Связь математики с другими науками B (вообщем говоря, тоже смешанная), гарантирующая, что его проигрыш за одну игру не превзойдёт v.

По-видимому, ещё рано судить о результатах внедрения теории игр, в особенности в экономике, хотя конкретно там Связь математики с другими науками она отыскала ряд более узнаваемых (и более разрекламированных) приложений. Одна из обстоятельств таковой осторожности — большие размеры матриц платежа в реальных ситуациях, так что полный их численный анализ всё ещё Связь математики с другими науками недоступен даже самым быстродействующим вычислительным машинам.

Принципиальная роль теории игр определяется не только лишь её определенными применениями в той либо другой области познаний. Теория игр позволяет отыскать математический подход к целому ряду вопросов Связь математики с другими науками, связанных, если так можно выразиться, с оптимальным поведением в конфликтных ситуациях. И даже если построенные на её базе модели очень упрощённы и нереалистичны, теория игр заслуживает огромного доверия уже поэтому, что Связь математики с другими науками она даёт надежду найти периодический подход к очень сложным дилеммам, связанным с публичным поведением.

Заканчивая обсуждение теории игр, нереально не упомянуть хотя бы кратко теорию статистических решений, сделанную на базе теории игр А. Вальдом.

Вальд Связь математики с другими науками рассматривал процесс принятия решения в критериях неопределённости как игру статистика против Природы. Стратегия Природы, естественно, неведома, но статистик воспринимает решения в согласовании с хорошей стратегией, которая определяется матрицей платежа Связь математики с другими науками. Эта матрица составляется из величин, которыми статистик оценивает себе сравнительную цена того либо другого решения. Эта теория по форме подобна теории игр, но на техническом уровне еще более сложна и громоздка, потому что матрицы платежа Связь математики с другими науками почти всегда нескончаемы. Воздействие теории принятия решений на статистику было приемущественно концептуальным. Теория статистических решений заинтересовала ко многим принципиальным вопросам, связанным со статистическими выводами, и в особенности с нравом статистических критериев, и Связь математики с другими науками занесла в их известную ясность.

^ Теория инфы занимается неуввязками, связанными с эффективностью передачи сообщений. Обычная ситуация тут заключается в том, что имеется источник инфы, выбирающий, из некого огромного количества сообщений одно Связь математики с другими науками сообщение, которое должно быть передано; передающее устройство превращает это сообщение в сигнал; дальше, имеется канал (линия связи), по которому посылается сигнал, и, в конце концов, принимающее устройство, модифицирующее сигнал в сообщение. К Связь математики с другими науками примеру, при передаче телеграмм записанные знаками слова кодируются последовательностями импульсов тока переменной продолжительности (тире, точки, пробелы), которые передаются по проводам и потом опять преобразуются в составленные из букв слова.

Теория инфы не Связь математики с другими науками занимается неуввязками семантики (как много передаваемые знаки отражают смысл сообщения); в ней рассматриваются только вопросы, связанные с безошибочностью (точностью) и экономичностью передачи.

Чтоб объяснить, какого рода задачки появляются в теории инфы, допустим, что Связь математики с другими науками сообщение представляет собой строчку из ^ N букв латинского алфавита (N довольно велико), в какой любая буковка встречается с той же частотой, с какой она возникает в «среднестатистических» текстах на британском Связь математики с другими науками языке. Можно представить для себя и поболее общую ситуацию, когда имеется алфавит из k букв S1, S2, ..., Sk, причём возникновение в сообщении буковкы S1 имеет возможность p1, буковкы S2 — возможность p2 и т.д Связь математики с другими науками. Последующие одна за другой буковкы выбираются независящим образом. Такие сообщения можно передавать поочередно, буковка за буковкой. Допустим, что передача одной буковкы занимает одну единицу времени (скажем, одну микросекунду); тогда скорость Связь математики с другими науками передачи равна одному символу за единицу времени. Нельзя ли сделать лучше положение? Какова наибольшая скорость, с которой может быть осуществлена передача?

Передача по буковкам неэффективна: при таковой передаче не употребляется то принципиальное событие Связь математики с другими науками, что некие сообщения выбираются источником, существенно пореже, чем другие. Скорость передачи можно повысить, закодировав нередкие сообщения маленькими выражениями и оставив более длинноватые выражения более редчайшим сообщениям.

Шеннон ввёл в рассмотрение Связь математики с другими науками две величины: ^ H — энтропию источника и C — пропускную способность канала и обосновал, что лучшая скорость передачи равна отношению C/H, которое всегда не меньше единицы. Это значит, что можно придумать коды, дозволяющие Связь математики с другими науками производить передачу с хоть какой средней скоростью, наименьшей, чем C/H, и не существует кодов, обеспечивающих огромную, чем C/H, скорость передачи сообщений.

Энтропия H определяется (грубо говоря) как

– 

 1 

N

 · (логарифм вероятности «типичного» сообщения).


Пропускная Связь математики с другими науками способность C равна максимуму H по всем вероятным заданиям вероятностей, совместимым с ограничениями, которые налагаются на сообщения. В рассматриваемом ординарном случае, когда сообщение представляет собой строчку из N букв, избираемых независящим Связь математики с другими науками образом, на источник не налагается никаких ограничений. К вопросу об ограничениях мы вернёмся несколько ниже.

Для теоретических целей довольно рассматривать только двоичные коды (т.е. коды, представляющие из себя последовательности нулей и единиц Связь математики с другими науками). Потому в теории инфы комфортно воспользоваться логарифмами при основании 2. Это, естественно, не вызвано необходимостью: схожее соглашение равнозначно, скажем, выбору системы единиц.

Чтоб получить представление о том, что понимается под «типичным» сообщением, вернёмся к Связь математики с другими науками нашему примеру.

Если ^ N велико, то бо́льшая часть сообщений содержит примерно p1N букв S1, p2N букв S2 и т.д. Это утверждение является грубой формулировкой закона огромных чисел, рассмотренного в Связь математики с другими науками главе 1. Обычным считается сообщение, которое вправду содержит p1N букв S1, p2N букв S2 и т.д. Числа p1N, p2N, ..., естественно, могут быть и не целыми Связь математики с другими науками; в таком случае необходимо брать наиблежайшие к ним целые числа; в пределе при N→∞ подмена, скажем, p1N целым числом [p1N] не отразится значительно на итоге.

Возможность того, что сообщение из ^ N букв Связь математики с другими науками будет содержать p1N букв S1, p2N букв S2 и т.д., равна

 p1N

 p2N




 pkN




 p1     

 p2     

... 

 pk     

,


и, как следует, в нашем ординарном примере энтропия задаётся формулой

 H = – ( p1 ln p1 + p2 ln Связь математики с другими науками p2 + ... + pk ln pk),


где p1, p2, ..., pk удовлетворяют единственному условию

 p1 + p2 + ... + pk = 1.


Наибольшее значение H при таком условии равно

 Hmax = C = – ln k;


оно выходит, когда все pi равны меж Связь математики с другими науками собой. Как следует, можно выстроить код, обеспечивающий всякую скорость передачи, наименьшую чем

ln k

 p1 ln p1 + p2 ln p2 + ... + pk ln pk

 .


До сего времени мы задавали только частоту возникновения в сообщении Связь математики с другими науками каждого знака в отдельности. Но в определенном языке, скажем британском либо французском, на последовательности букв, образующие допустимое сообщение, налагаются очень жёсткие ограничения, часть которых не известна. Реальный язык можно аппроксимировать, налагая всё больше и больше Связь математики с другими науками ограничений статистического нрава на процесс генерации сообщений. К примеру, заместо условия независимости можно ввести требование, чтоб любая диграмма (т.е. любая пара из 2-ух поочередных букв) появлялась в сообщениях Связь математики с другими науками с той же частотой, что и в реальных текстах на данном языке; тем будет достигнуто большее соответствие с реальной структурой языка. Этот процесс можно продолжить, подгоняя частоты троек, четвёрок и т.д. поочередных Связь математики с другими науками букв к реальным частотам соответственных сочетаний в данном языке. Если ограничиться диграммами, то статистическое описание источника сообщений воспримет вид обычный марковской цепи.

В применении к нашему искусственному примеру с алфавитом S1, S Связь математики с другими науками2, ..., Sk это значит, что заданы вероятности pij того, что за Si следует Sj, и возможность сообщения Si1Si2...SiN равна

 pi1i2 pi2i3 ... piN–1iN.


Вероятности p1, p2, ..., pk возникновения отдельных знаков в длинноватых Связь математики с другими науками сообщениях можно отыскать, решая линейные уравнения

 k






 pi pij = pj     ( j = 1, 2, ..., k).

i=1





Энтропия такового источника равна

 H = – 



 pi 



 pij ln pij .




 i




 j





Можно показать, что данная величина не превосходит энтропии источника в случае независящей Связь математики с другими науками генерации знаков с вероятностями pi. В этом проявляется общий принцип; чем больше налагается ограничений, тем меньше становится энтропия.

Если некое pij равно 0 либо 1 (к примеру, в британском языке за буковкой Связь математики с другими науками  z никогда не следует x, так что pzx = 0), то мы имеем абсолютное ограничение. При отыскании максимума энтропии можно разнообразить все вероятности pij, не считая тех, которые равны 0 либо 1.

До сего времени мы Связь математики с другими науками подразумевали, что в канале отсутствует шум, т.е. что каждый знак передаётся полностью точно. Более достойные внимания математические задачки появляются в ситуациях, когда канал «зашумлён». Простая модель такового зашумлённого канала — двоичный канал без памяти. Тут Связь математики с другими науками мы считаем, что при передаче двоичных кодов имеется некая неизменная возможность p того, что знак 0 либо 1 будет передан верно, и неизменная возможность q=1–р того, что он будет искажён Связь математики с другими науками (т.е. 0 заменится на 1 либо 1 на 0); не считая того, мы полагаем, что отдельные знаки передаются независимо.

Шеннон и другие проявили, как и при каких обстоятельствах можно выстроить коды, допускающие дешифровку с произвольно высочайшей вероятностью Связь математики с другими науками; найдены также рациональные скорости передачи.

Эти разделы теории уже очень сложны, но даже из нашего лаконичного и неполного обзора её более простых частей видно, с каким фуррором математика применяется на данный Связь математики с другими науками момент к задачкам, которые совершенно не так давно числились труднодоступными никакому четкому количественному анализу.

Обсуждая связи арифметики с другими науками, нельзя не коснуться статистики. Статистика не является ветвью арифметики, так как она занимается обработкой Связь математики с другими науками данных и принятием решений на базе результатов этой обработки. Применяемая таким макаром, она не является даже чётко очерченной дисциплиной, а быстрее представляет собой общий инструмент научного исследования. Но математика Связь математики с другими науками игралась и играет важную роль в развитии статистики. Многие разделы статистики так глубоко пропитаны математическими мыслями и способами, что их совокупа получила наименование математической статистики.

В свою очередь статистическая точка зрения оказывается полезной в Связь математики с другими науками почти всех областях незапятанной арифметики, расширяя проблематику и подсказывая новые пути и подходы.

Мы желаем опять выделить, что очень изредка можно провести чёткую границу меж арифметикой и другими науками, к Связь математики с другими науками которым она применяется. Пробы — к огорчению, достаточно нередкие — изолировать «чистую» арифметику от всей остальной научной деятельности и вынудить её вариться в своем соку могут только обеднить и арифметику, и остальные науки.

svyaz-neverbalnoj-kommunikacii-i-razlichnih-form-tvorcheskoj-ekspressii-s-gruppovimi-processami.html
svyaz-obucheniya-i-psihicheskogo-razvitiya-detej-d-b-elkonin-izbrannie-psihologicheskie-trudi.html
svyaz-pedagogiki-s-drugimi-naukami-i-ee-struktura.html